Né à Bâle en 1961, Felix Baumann accomplit sa scolarité dans la cité rhénane puis dans le canton de Bâle-Campagne, où il obtient sa maturité. A vingt ans, il entreprend des études de psychologie et de philosophie à l’Université de Fribourg, qu’il conclut par une licence en lettres et un diplôme d’orienteur professionnel.
Il entame sa carrière professionnelle en 1987 comme secrétaire général de l’Union des étudiant-e-s de Suisse (UNES), à Berne, poste qu’il occupera jusqu’en 1991. Il reste toutefois lié à l’Université de Fribourg, en tant que membre de sa commission de recours. En 1989, il entame des études bilingues de droit au sein de l’Alma Mater fribourgeoise – où il représente les étudiants au sein du Sénat - et à l’Université de Neuchâtel.
Licence de droit en poche, Felix Baumann entre au service du Pouvoir judiciaire fribourgeois en 1993, comme greffier-adjoint auprès du Tribunal cantonal. Occupé à temps partiel, il s’investit dans d’autres fonctions juridique ou judiciaires. Comme secrétaire de la commission de recours de l’Université de Fribourg de 1994 à 2001 ; comme juge suppléant puis, dès 2000, juge du Tribunal militaire d’appel 2 ; comme secrétaire adjoint de la Commission fédérale d’estimation du 6e arrondissement de 2001 à 2013 ; ou encore comme enquêteur pour le canton de Fribourg de la Commission fédérale des maisons de jeu.
Parallèlement à ses engagements professionnels, il accomplit encore un doctorat en droit, qu’il obtient en 2011, année de son élection comme juge du Tribunal des mesures de contrainte. Un poste à temps partiel, là encore, qui lui permet d’exercer également ses compétences dès 2012 comme juge suppléant auprès du Tribunal cantonal, et, dès l’année suivante, comme traducteur allemand-français du Code de procédure civile annoté online. Deux fonctions qu’il continuera d’occuper à l’avenir.